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在數(shù)學(xué)的浩瀚海洋中，單調(diào)有界定理宛如一顆璀璨的明珠。很多人或許會好奇，單調(diào)有界定理是什么呢？它是數(shù)學(xué)分析中的一個重要定理，在數(shù)列極限等領(lǐng)域有著關(guān)鍵作用。簡單來說，單調(diào)有界定理表明單調(diào)有界數(shù)列必有極限。這一定理為研究數(shù)列的收斂性提供了有力的工具，無論是在理論推導(dǎo)，還是在實際問題的解決中，都有著廣泛的應(yīng)用。接下來，我們將深入探討它的具體內(nèi)涵、證明過程以及相關(guān)的實際案例，揭開單調(diào)有界定理的神秘面紗。

1、若數(shù)列單調(diào)遞增有上界，或單調(diào)遞減有下界，則數(shù)列必存在極限。對于遞推類的數(shù)列經(jīng)常使用這一原則求極限（所謂遞推數(shù)列就是后一項是可以由前一項通過式子推出來的）。

2、在使用這個原則時一般包括兩個步驟：證明數(shù)列有界(數(shù)學(xué)歸納法)，單調(diào)；假設(shè)數(shù)列極限為A，通過遞推式兩端求極限建立關(guān)于A的方程，從而求出極限A。